Inferenzstatistik

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Grundlagen

Inferenzstatistik

In der Inferenzstatistik geht es darum, die Parameter einer Grundgesamtheit mithilfe einer Stichprobe zu schätzen.

Je größer die Stichprobe, desto genauer die Schätzung.

Bei einem Stichproben-Umfang größer 30 kann man anhand des Zentralen Grenzwertsatzes die WSKen für die Genauigkeit der Schätzung bestimmen.

☝️Der Schätzwert eines Parameters wird auch mit einem Dach gekennzeichnet:

Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte – für Stichproben > 30 – eine Normalverteilung ist.

Jedes X quer ist der Mittelwert einer Stichprobe.

Diese Häufigkeits-Verteilung der Stichproben-Mittelwerte ist gleichzeitig auch eine WSK-Verteilung für jeden einzelnen Stichproben-Mittelwert.

☝️Das ist die WSK-Verteilung der Stichproben-Mittelwerte.

Für irgendeinen Stichproben-Mittelwert gilt also:

Die WSK, dass ein Stichproben-Mittelwert innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert der Stichproben-Mittelwerte liegt, ist 68 Prozent.

☝️Auch die WSK-Verteilung der Stichproben-Mittelwerte hat einen Mittelwert.

Dabei gilt:

μ und σ sind die Parameter der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde.

☝️Der Durchschnitt der Stichproben-Mittelwerte () ist gleich dem Mittelwert μ der Grundgesamtheit.

Daher nennt man den Stichproben-Mittelwert als Schätzwert für μ erwartungstreu.

Randbemerkung: Somit könnte man eigentlich auch sagen, mit welcher WSK μ in der Nähe von ist. Es ist aber unüblich, WSK-Aussagen für μ zu machen, weil μ keine Zufallsvariable ist, sondern ein unbekannter, aber fester Parameter der Grundgesamtheit. Daher verwendet man andere Begriffe: man berechnet ein „Konfidenzintervall“ für ein bestimmtes „Konfidenzniveau“.
☝️In der Klausur wird niemals eine solche Aufgabe drankommen, sondern nur Aufgaben zu Konfidenzintervallen und Hypothesentests.

+ Konfidenzintervalle
- Grundlagen

Konfidenzintervalle

Ein Konfidenzintervall für den Mittelwert μ der Grundgesamtheit ist ein Schätzintervall, das um den Mittelwert einer Stichprobe gebildet wird.

ist ein Schätzwert für μ. Das Konfidenzintervall ist ein Schätzintervall für μ.

Um das Konfidenzintervall für ein bestimmtes Konfidenzniveau zu bestimmen, benötigen wir den Z-Wert für dieses Konfidenzniveau.

☝️Ein Konfidenzintervall hat keine WSK, sondern ein Konfidenzniveau.

Diesmal suchen wir also nicht die WSK für einen Z-Wert, sondern den Z-Wert für eine WSK. Auch dazu schauen wir in die Tabelle:

Der Z-Wert für ein ZWEISEITIGES Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 95 Prozent ist 1,96.

Für das zweiseitige Konfidenzintervall brauchen wir also den Bereich innerhalb von 1,96 Standardabweichungen um .

Einseitige Konfidenzintervalle

Der Z-Wert für ein EINSEITIGES Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 95 Prozent ist 1,65.

1,64 ginge auch

Je nachdem ob die rechte oder linke Seite gesucht ist:

oder:

- Berechnung mit Z-Quantilen 🔒/🔓€

Berechnung mit Z-Quantilen

☝️Ein einprägsames Rezept für die immergleiche Berechnung von Konfidenzintervallen bekommt man mithilfe der Z-Quantile.
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- Die 4 Fälle 🔒/🔓€
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- Die t-Verteilung 🔒/🔓€
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+ Hypothesentests
- Hypothesentests für μ

Zweiseitiger Hypothesentest

☝️Bei einem zweiseitigen Hypothesentest lautet die Nullhypothese immer:

μ = μ0   (Mü gleich Mü Null)

zum Beispiel:

H0:  μ = 310

Die Alternativhypothese lautet dann:

H1:  μ ≠ 310

Bei einem Signifikanzniveau α = 0,1 ergibt sich der folgende Annahmebereich:

☝️Die Grenzen des Annahmebereichs werden genauso berechnet, wie die Grenzen eines Konfidenzintervalls, hier aber um den (von H0 behaupteten) Mittelwert μ, und nicht um .

Dann nehmen wir eine Stichprobe und schauen, ob der Stichproben-Mittelwert im Annahmebereich oder im Ablehnungsbereich liegt.

Liegt im Annahmebereich, wird die Nullhypothese angenommen.

Liegt im Ablehnungsbereich, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Einseitiger Hypothesentest

☝️Bei einem einseitigen Hypothesentest lautet die Nullhypothese immer:

μ ≤ μ0   oder   μ ≥ μ0

Zum Beispiel: H0:  μ ≤ 310 und α = 0,1 mit:

oder: H0:  μ ≥ 310 und α = 0,1 mit:

☝️Bei einseitigen Hypothesentests ist nur EIN kritischer Wert auszurechnen.

☝️Die Nullhypothese ist immer die mit dem „gleich“, die Alternativhypothese ist immer ohne „gleich“:

H0: μ = μ0     H1:  μ ≠ μ0

H0: μ ≤ μ0     H1:  μ > μ0

H0: μ ≥ μ0     H1:  μ < μ0

Hypothesentest mit t-Verteilung

☝️Beim Hypothesentest sind genau die gleichen 4 Fälle zu unterscheiden, wie bei den Konfidenzintervallen.

Ist der Stichproben-Umfang ≤ 30 und σ unbekannt, verwendet man die t-Verteilung.

Zweiseitiger Annahmebereich:

Einseitiger Annahmebereich:

- Chi-Quadrat Tests 🔒/🔓€
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